Wyprowadzenie wzoru na różnicę energii¶
Przyjmijmy konfigurację spinów
$$ s=(s_1,\dots,s_N), \qquad s_i\in\{-1,+1\}. $$
Używamy konwencji hamiltonianu
$$ E(s)= -\frac12 \sum_{i,j} J_{ij}s_i s_j - \sum_i h_i s_i. $$
Chcemy policzyć różnicę energii między dwoma stanami, które różnią się tylko jednym spinem, powiedzmy spinem o numerze $k$.
1. Definicja dwóch stanów¶
Niech stan $s'$ powstaje ze stanu $s$ przez odwrócenie tylko spinu $k$:
$$ s'_i= \begin{cases} s_i, & i\neq k, \\ -s_k, & i=k. \end{cases} $$
Interesuje nas:
$$ \Delta E = E(s')-E(s). $$
2. Rozpisanie energii obu stanów¶
Mamy
$$ E(s)= -\frac12 \sum_{i,j} J_{ij}s_i s_j - \sum_i h_i s_i, $$
oraz
$$ E(s')= -\frac12 \sum_{i,j} J_{ij}s'_i s'_j - \sum_i h_i s'_i. $$
Odejmujemy:
$$ \Delta E = -\frac12 \sum_{i,j} J_{ij}(s'_i s'_j-s_i s_j) -\sum_i h_i(s'_i-s_i). $$
Ponieważ zmienia się tylko spin $k$, wszystkie wyrazy niezawierające indeksu $k$ skracają się.
3. Oddziaływania spin-spin (J)¶
Zostają tylko składniki, w których występuje $k$, czyli te z $i=k$ albo $j=k$:
$$ \Delta E_{\mathrm{coup}} = -\frac12 \left[ \sum_j J_{kj}(s'_k s'_j - s_k s_j) + \sum_i J_{ik}(s'_i s'_k - s_i s_k) \right]. $$
Ponieważ dla $j\neq k$ mamy $s'_j=s_j$, a $s'_k=-s_k$, dostajemy
$$ s'_k s'_j - s_k s_j = (-s_k)s_j - s_k s_j = -2s_k s_j. $$
Analogicznie,
$$ s'_i s'_k - s_i s_k = s_i(-s_k)-s_i s_k = -2s_i s_k. $$
Zatem
$$ \Delta E_{\mathrm{coup}} = -\frac12 \left[ \sum_j J_{kj}(-2s_k s_j) + \sum_i J_{ik}(-2s_i s_k) \right]. $$
Wyciągamy wspólne czynniki:
$$ \Delta E_{\mathrm{coup}} = \frac12 \left[ 2s_k\sum_j J_{kj}s_j + 2s_k\sum_i J_{ik}s_i \right]. $$
Czyli
$$ \Delta E_{\mathrm{coup}} = s_k\sum_j J_{kj}s_j + s_k\sum_i J_{ik}s_i. $$
Macierz sprzężeń jest symetryczna, czyli
$$ J_{ij}=J_{ji}, $$
więc oba człony są równe i dostajemy
$$ \Delta E_{\mathrm{coup}} = 2s_k\sum_j J_{kj}s_j. $$
4. Pola zewnętrzne (h)¶
Dla pola zewnętrznego zostaje tylko składnik z $i=k$:
$$ \Delta E_{\mathrm{field}} = -\;h_k(s'_k-s_k). $$
Ponieważ $s'_k=-s_k$, mamy
$$ s'_k-s_k=-s_k-s_k=-2s_k, $$
więc
$$ \Delta E_{\mathrm{field}} = -\,h_k(-2s_k) = 2h_k s_k. $$
5. Całkowita różnica energii¶
Dodając obie części:
$$ \Delta E = \Delta E_{\mathrm{coup}}+\Delta E_{\mathrm{field}} = 2s_k\sum_j J_{kj}s_j + 2h_k s_k. $$
Wyłączamy $2s_k$ przed nawias:
$$ \boxed{ \Delta E = E(s')-E(s) = 2s_k\left(h_k + \sum_j J_{kj}s_j\right) } $$