Wyobraź sobie masę na sprężynie: gdy ją odchylimy od położenia równowagi, sprężyna „ciągnie” ją z powrotem. W idealnym (liniowym) przybliżeniu siła sprężyny $F_s$ jest proporcjonalna do wychylenia:
$$ F_s = -kx(t), $$
gdzie znak $-$ oznacza, że siła działa przeciwnie do wychylenia (zawsze w stronę równowagi). Liczbę $k$ nazywamy stałą sprężystości i określa jak "silna" jest sprężyna.
Z drugiej zasady Newtona mamy, że siła to masa $\times$ przyspieszenie. Przyspierzenie $a$ to druga pochodna po położeniu $x(t)$ więc:
$$ F_n = ma \, \Rightarrow \, F_n = m \ddot{x}(t) $$
W tym uproszczonym układzie jedyną siłą która działa jest siła sprężyny. Podstawiając mamy:
$$ F_n = F_s = -kx(t) $$
$$ m \ddot{x}(t) = -kx(t) $$
Przekształcając równanie, otrzymujemy:
$$ \ddot{x}(t) + \frac{k}{m}x(t) = 0 $$
Często się wprowadza parametr $\omega$:
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, $$
który nazywamy częstością kołową (lub kątową). Dostajemy standardową postać:
$$ \ddot{x}(t) + \omega^2x(t) = 0 $$
Energia¶
Całkowita energia $E$ to suma energii kinetycznej $E_k$ i energi potencjalnej $E_p$.
$$
E = E_k + E_p
$$
W naszym modelu
$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 $$
$$ E_p = \frac{1}{2} \omega^2 x^2 $$
Przyjmując masę jednostkową $m=1$ otrzymujemy:
$$ E = \frac{1}{2}\dot{x}^2 + \frac{1}{2}\omega^2 x^2 $$